Russell’s Paradox
🖋Author: Mujibur Rahman
Russell’s Paradox
অঙ্ক দিয়ে বিরিয়ানী।
অংকতে কি সবাই গোল? নাহ। দেখি তো।
আজকে জ্ঞানের আরেক সুস্বাদু রান্না করি চলুন।
Russell’s Paradox । রাসেলের প্যারাডক্স।
Barber paradox মানে নাপিত প্যারাডক্স।
অংকশাস্ত্রের দূর্দান্ত আলাপন।
অন্কের কথা শুনলেই মাথা ঘোড়ে?
আমার সবচাইতে উপাদেয় বিষয় এটি।
====
ভয় পেয়েন না। আমি মজা করে পরিবেশনার চেষ্টা করবো।আমাকে ধরে থাকুন আমি অনেক উপর আকাশে প্লেন থেকে মাটিতে লাফ দিচ্ছি।
********
অন্কশাস্ত্রের ইতিহাসে এটা রাসেল প্যারাডক্স নামেই খ্যাত।আর বার্টান্ড রাসেল কে আমরা সবাই চিনি।যিনি একাধারে ছিলেন দার্শনিক,ম্যাথমেটিশিয়ান,লজিসিয়ান। তিনি তার কৃত কর্মের জন্য নোবেল পুরস্কারও পেয়েছিলেন।
==
যেই প্যারাডক্সটি নিয়ে আলোচনা করছি এটি দুনিয়া জুড়ে বোদ্ধা জগতে আলোড়ন সৃষ্টি করে আছে। সবাই পাগল হয়ে আছে কিন্তু।
====
এই প্যারাডক্সের ভিতর আছে প্রচুর সুক্ষাতিসুক্ষ যুক্তি ও দার্শনিক প্রশ্ন। সম্ভবত অনেককেই আমার এই লেখাটি অনেক বার পড়তে হবে। আমি আগেই বলেছি অন্তত আমার সাথে এই Facebook এ যারা থাকবেন তাদের মাথা ঘামাতেই হবে। ব্যাক্তিগত জীবনেও আমি এমন।
===
রাসেল প্যারাডক্সের গুরুত্বপূর্ন প্যারাডক্সটা হলো, Barber Paradox মানে নাপিত প্যারাডক্স।
======
একটি শহর আছে। যেই শহরে একটাই পূরুষ নাপিত আছে। এবং শহরটিতে তিনটি নিয়ম হলো যে,
(১) শহরের কেউ নীজে নীজে সেইভ করতে পারবে না।
(২) শহরের সব পূরুষের ক্লিন সেইভ থাকতে হবে।
(৩) এই একমাত্র নাপিতের দ্বারাই সবাইকে সেইভ করাতে হবে।
এখন প্রশ্ন হলো ঐ নাপিতের সেইভ কি ভাবে হবে?
===
আপনারা বিষয়টি মাথায় রেখে ভাবতে থাকুন।এবং সাথে সাথে চলুন mathematics এর একটা জগৎ ঘুড়ে আসি।
===
প্রথমে চলুন আমরা pure science নিয়ে একটু আলোচনা করি।
যদি Pure science এর biology নিয়ে যদি আলোচনা করি তাহলে আমাদের মিলিয়ন মিলিয়ন living organism বা জীবন্ত প্রানী নিয়ে আলোচনা করতে হবে ।
আর যখনই আমরা এই প্রানী নিয়ে আলোচনা করবে তখনই আমাদের এই সকল প্রানীর জৈব রসায়ন নিয়ে আলোচনা করতেই হবে। তাই আমাদের স্বিকার করে নিতেই হবে যে biology এর সাথে রসায়ন তথা কেমিস্ট্রি অঙ্গাঙ্গিভাবে জড়িত। অর্থাৎ জীববিজ্ঞানের ফাউন্ডেশন রসায়নে রয়েছে।
==
অপর দিকে রসায়নের সকল বিক্রিয়াই মূলত পদার্থেরই বিক্রিয়া।তখন বলতে হবে chemistry ও physics এর উপর নির্ভরশীল। এইভাবে যদি আমরা pure science নিয়ে আলোচনা আগিয়ে নিয়ে যাই তাহলে আমরা elementary particles এ গিয়ে পৌঁছাব।চলে যাবো leptons, quarks ও gauge bosons এর আলোচনায়।
===
তখন আমাদের দ্বারা সম্ভব হয়ে উঠবে ইলেক্ট্রন,কোয়ার্কস এগুলির মূল শক্তি কি তা বোঝার চেষ্টা করা। অর্থাৎ আমরা তাত্বিকভাবে হলেও pure science এর foundation নিয়ে আলোচনা করতে সক্ষম হবো।
===
কিন্তু ১৯শ শতকে অন্ক শাস্ত্রের এক একটি শাখার মধ্যে কোনও যোগ সূত্র ছিল না। Pure science এর যেমন একটি গাছের শাখা রয়েছে যা একটির সাথে আরেকটি সংযুক্ত। Mathematics এর এমন কোনও যোগসূত্রতা ছিল না।
===
অন্ক অন্ক শাস্ত্রবিদগন একটি অন্ক শাস্ত্রের বিভিন্ন শাখাগুলিকে পরস্পরের সাথে জড়িত করার চেষ্টা করেছেন এবং সেই জন্য একটি, “Foundational theory” এর আবশ্যকতাও অনুভব করেছেন।
But what made it tricky is that the approach to figure out the foundations of math is very different to that of the other sciences.
====
মানে বিজ্ঞানের অপরাপর শাখা গুলি হতে অন্ক শাস্ত্রের কোনও ফাউন্ডেশন তৈরী করা বেশ কৌশলপূর্ন।আমরা বিশ্বকে পর্যবেক্ষন করে অনেক কিছু বুঝতে পারি, টেলিস্কোপ,মাইক্রোস্কপ দিয়ে অনেক কিছু পর্যবেক্ষন করতে পারি। কিন্তু বিশ্ব পর্যবেক্ষণের মতো করে আমরা অন্কশাস্ত্র বুঝতে পারবো না।
===
আমরা pure science দিয়ে অনেক কিছুই করতে পারবো কিন্তু ২+২=৫ করতে পারবো না। যদিও ম্যাথ দিয়ে বিশ্ব ব্যবস্হার আচরনের অন্ক করা যাবে কিন্তু তাতে অন্কের আগমন রহস্য কি তা বোঝা যাচ্ছে না।
প্যারাডক্স এখানেই সৃষ্টি হয়। তাই আগিয়ে আসে দর্শন শাস্ত্র।
===
অন্ক কেন এমন? অন্ককে কি ভাবে এমন হতে হয় কেন এমন হতে হয় বা কি ভাবে হয় এই প্রশ্ন নিয়েই হাজির হোন প্ল্যাটো।
===
Plato ভাবলেন যে অন্কের যে বিষয়গুলি বা objects,নম্বর যেমন ১,২ , আকার বা shape যেমন বৃত্তাকার, ত্রিকোনাকার, চৌকোনাকার প্রভৃতির সাথে যোগ, বিয়োগ,গুন,ভাগের সম্পর্কের যৌথ গঠনটাই objective truth অর্থাৎ এটাই অন্কের শাশ্বতরূপ। এভাবেই অন্ক অন্ক হয়ে উঠেছে।
আর অন্কের ঐ অন্তর্নিহিত রূপটিই সম্পূর্ন স্বতন্ত্র বৈশিষ্ট্যে আমাদের থেকে আলাদা একটি জগতে অবস্হান করছে ।তিনি অন্কের এই রুপের নাম দিলেন, “The world of forms”।
===
কিন্তু প্ল্যাটোর ছাত্র এরিস্টোটলের মত ছিল ভিন্ন। Aristotle বললেন যে অন্কের নম্বরগুলি বা সংখ্যাগুলি নিজে কোনও অবজেক্ট বা অভীষ্ট বস্তু না বরং ঐ বস্তুর properties বা সমষ্টি। যার অর্থ দাঁড়ায় যেমন ‘ঐ খানে দুইটা জুতা আছে’।
এখানে জুতার সংখ্যা বা ঐ দুই নম্বরটি কোনও বস্তু না। কিন্তু প্লেটোর কথা মতো এটিও অর্থাৎ জুতার সংখ্যা টিও অবজেক্ট বা বস্তু হয়ে যায়।
==
কিন্তু এরিস্টটল বললেন নম্বর বা সংখ্যা হচ্ছে জুতা নামক বস্তুটির property বা সম্পদ বা সমষ্টি। বাংলা করতে গেলেই আমার প্যাঁচ লাগে। মানুষ কিভাবে বাংলায় এগুলি শিখে বুঝি না।
===
যাইহোক Aristotle বললেন এটাই অন্ক শাস্ত্র অর্থাৎ একটি “আকার গঠন” এর অবস্হান।এবং এই আকারের গঠন আমাদের নীজেদের চিন্তার জগতের বাহিরে অবস্হান করে না বরং এই আকার প্রনয়ন বা গঠন আমাদের জগতেরই অংশ।
(The number two was a property of the collection of shoes. He also thought they didn't exist in their own world of forms independent of our world but they described features of our world and so belonged to our world.)
===
এরপর আসলেন আরেক বৈচিত্র্যময় দার্শিনিক Immanuel Kant সাহেব। তার মতে অন্কের বিষয় বস্তু কোনও শাশ্বত সত্যতা না বা objective truth না বরং অন্ক শাস্ত্র বুঝতে হলে আমাদের স্বজ্ঞা বা অন্তরদৃষ্টি লাগবে ।
===
যাকে বলে intuition।
===
কান্ট আরও বললেন যে এটা ঠিক আমরা অন্কে বিষয়গুলি বা objects তারপর নম্বর যেমন ১,২ তারপর আকার বা shape যেমন বৃত্তাকার, ত্রিকোনাকার, চৌকোনাকার প্রভৃতির সাথে যোগ, বিয়োগ,গুন,ভাগ এগুলিও আনি।
===
এগুলি আসে আমাদের দৈনন্দিন অভিজ্ঞতা থেকে কিন্তু অন্কের মর্মবানী ঐ মানুষের অন্তরদৃষ্টিতে নিহিত।
==
যেমন আমরা যখন দেখলাম মানুষ দুইজন এবং আম চারটা তখন দুইটা দুইটা করে যে সবাই নিলাম সেটা একই সাথে আমাদের অন্তরদৃষ্টি ও তৎক্ষনাৎ অভিজ্ঞতার সংমিশ্রন।
==
অন্কশাস্ত্র নিয়ে যখন এমন অবস্হা চলছে সেই সময় আবির্ভাব হলো অন্কশাস্ত্রের বরপুত্র Friedrich Ludwig Gottlob Frege। তিনি ছিলেন জার্মান mathematician, logician এবং দার্শনিক। তার সময় কাল ১৮৪৮ হতে ১৯২৫ সাল নাগাদ।
===
এবার চলুন লাফ দেই রাসেল প্যারাডক্সে। নামটা রাসেল প্যারাডক্স হলেও এটার জন্ম হয়েছে ঐ জার্মান mathematician জনাব Frege এর কারনে।
===
এখন থেকে বিষয়টি জটিল থেকে জটিলতর হতে থাকবে। Frege সাহেব অন্ক শাস্ত্রে অভাবনীয় চিন্তার উদ্রেক করাতে পারলেও তার জীবিত কালে তাকে সে ভাবে মূল্যায়ন করা হয় নাই।কিন্তু তারও করুন পরিনতি আছে এই জটিল অন্ক ও যুক্তি শাস্ত্রে।
===
Frege প্রথমেই Aristotle যেখানে তিনি বলেছিলেন যে অন্কের নম্বর হচ্ছে অন্কের সমষ্টি বা গুন বা বৈশিষ্ট্য বা property এই ধারনা কে নাকচ করলেন। Frege বললেন,
“If numbers are properties of object then only one number should belong to any object and it shouldn't be influenced by matter of opinion”
“ যদি সংখ্যা বা নাম্বার হয় অভিষ্ঠ বস্তুর বৈশিষ্ট্য বা properties তাহলে কোনও বস্তুর একটি সংখ্যাই হবে ঐ বস্তুর একমাত্র উপাদান যেখানে মানুষের অভিমত কে ধরা যাবে না”
===
তার লেখাটি সাদা সিধে ভাবে পড়লে মাথায় কিছুই ঠুকবে না। আমি বলছি।
==
Frege বলতে চান যে সংখ্যা বা নম্বর মানুষের ধারনার উপর নির্ভর করে। যেমন কেউ যদি বলে ঐ খানে এক জোড়া জুতা রয়েছে তাহলে সে জোড়া বলে বস্তুটির ১ টা অংশ বর্ননা করছে। কিন্তু অন্য একজন যদি বলে দুটি জুতা রয়েছে তাহলে সে দুইটি সংখ্যা গননা করছে। অর্থাৎ সংখ্যা মানুষের concept এর উপর নির্ভর করে।
==
তাই Frege বলতে চান যদি Aristotle এর কথা ধরা হয় তাহলে আমাদের এক জোড়ায় জুতার বা একক বা এক সংখ্যার মধ্যে থাকতে হবে কিংবা দুইটি সংখ্যার মধ্যে থাকতে হবে।মানো যে কোনও একটির মধ্যেই থাকতে হবে। কিন্তু বাস্তবে তা হয় না। কারন মানুষ কোন concept নেবে এক জোড়া না দুইটা জুতা তা একেক জন একেক ভাবে গননা করতে পারে। তিনি কান্টের ঐ অন্তরদৃষ্টি বা সজ্ঞারও পক্ষে থাকলেন না।
He also disagreed with Kant that, “To understand math you needed intuition and experience”.
=।
তিনি arithmetic কে reason বা যুক্তি গ্রাহ্য করতে চাইলেন।
Frege said,
“I sought to make it plausible that arithmetic is a branch of logic and need not borrow any ground of proof whatever for me the experience or intuition”.
তিনি logic কেই অন্ক শাস্ত্রের ফাউন্ডেশন করতে আগিয়ে গেলেন। তার এই প্রয়াস ই হচ্ছে logicism।
==
Frege যেই লজিকটি আনতে চাইলেন তা খুবই চমকপ্রদ এবং আজও কার্যকর। যেটি আমাদের যুক্তির জগতে একটি দারুন ব্যবস্হা।
==
তিনি মূলত যুক্তির দুটি deductive অন্চল কে বা premises দিয়ে inference পয়েন্ট বা যুক্তির ফলাফল নিয়ে আসতে চাইলেন। যেমন দুইটি deductive অন্চল ধরি, (১) সকল মানুষ মরনশীল, (২) সক্রেটিস একজন মানুষ। Inference বা যুক্তির সঠিক অবস্হান হলো সক্রেটিস মরনশীল।
অর্থাৎ ডিডাক্টিভ ১ এবং ২ নং দিয়ে উত্তর পেলাম যে সক্রেটিস মরনশীল।সক্রেটিস মরনশীল এটা যুক্তি দিয়ে বোঝাতে আমাদের দুইটি শর্ত পূরন করে আসতে হয়েছে।
===
আচ্ছা আমরা কি কখনো চিন্তা জগতে সংখ্যা কে কোনও ভাষা দিয়ে ভাবি?সংখ্যা দিয়ে পরিমান বা নম্বরাংশ ভাবি না?
Frege এই যুক্তিই দিচ্ছিলেন যে সংখ্যা বুঝতে কোনও অন্তরদৃষ্টি বা অভিজ্ঞতার প্রয়োজন পরে না।
====
Frege বললেন সংখ্যা হচ্ছে আমাদের ধারনা বা concept , তবে তিনি এই ধারনা extension নিয়ে আসলেন। তার মতে concept একটি idea । যে কোনও কিছু আমরা concept করি। যেমন লাল রং, জুতা, গরু।
==
যে কোন কিছু concept এ আনেন যেমন লাল রং আনলেন তাহলে এই লাল রং concept এর সাথে extension হিসাবে চলে আসবে পৃথিবীর সব লাল রঙের বস্তু। যদি জুতা concept এ আসে তাহলে extension হিসাবে সকল প্রকার জুতা চলে আসবে।
কিন্তু যুক্তি ছাড়া concept আনলে হবে না। যেমন যদি concept আনেন Square circle বা একটি চৌকানো আকারের বৃত্ত। বৃত্তের আকার চৌকানো হয় না তাই এর extension ও হবে শূন্য।
==
সংখ্যার ক্ষেত্রে concept যখন আসবে ছয় তখন extension হিসাবে জগতের সকল ছয় সংখ্যার বস্তু চলে আসবে। তদ্রুপ সাত, আট বা যে কোনও সংখ্যার ক্ষেত্রেও একই হবে।
===
Frege এই ভাবেই mathematics এর একটি axiom বা নীতি উপর তার concept ও তার extension দাঁড় করালেন।যতো concept আসবে তার extension ও সেই নিরিখে বৃদ্ধি পেতে থাকবে।
===
তিনি অন্কশাস্ত্রের এই axiom এর নাম দিলেন, “The general comprehension principle”। Axiom মানে যার উপর ভর করে কোন কিছু বিদ্যমান থাকা।
==
এখন ভাবুন এমতাবস্হায় আপনারা কি এমন কোন concept আনতে পারবেন যার পরম্পরায় কোনও extension আনা যাবে না?
===
Frege এর এই concept কে ধরলেন Bertrand Russell। সময়টা এমন মূহুর্তে হয়েছে যখন ১৯০১ সালে Frege তার concept উপর লেখা বইটা ছাপতে যাবে। Frege সেই মূহুর্তে Bertrand Russell এর একটি পত্র পেলেন।
==
রাসেল লিখেছেন,
“Dear Colleague I find myself in complete agreement with you in all essentials in regard to many particular questions I find in your work discussion distinctions and definitions that one seeks in vain in the works of other logicians. There is just one point where I have encountered a difficulty.
Consider the set of all sets that are not members of themselves. Is that set a member of itself?”
যারা ইংরাজিতে ইংরেজী বোঝেন তারা এটার বোঝার চেষ্টা করতে পারেন কিন্তু যারা বাংলায় অনুবাদ করে তারপর বোঝার চেষ্টা করেন তারা বোঝার চেষ্টা করতে না যে বরং আমি কি বলছি সেটি বুঝুন।
===
এই চিঠিটি Frege এর সব কিছু ধসিয়ে দিল। এমন ভাবে তা আঘাত করলো যে তিনি অসুস্হ হয়ে হাসপাতালে ভর্তি হলেন।
পরে Frege লিখলেন যে,“My efforts to throw light on the question surrounding the word, “Number” seems to have ended in complete failure”.
==
এমন কি হলো যে সব লন্ডভন্ড হয়ে গেল?
==
চলুন একটু আলোচনা করি:
Set theory পুরাটা আলোচনা করছি না। কেবল Russell paradox টি বলছি। যেটি ঐ Barber Paradox হয়ে গেছে। এবং যা পরবর্তিতে set theory করতে সবাইকে পাগল করে দেয়।
===
বিষয় টি যদি physics দিয়ে বলি তাহলে এমন হবে। ধরুন মধ্যাকর্ষন শক্তি মানে যুক্তি দেওয়া হলো যে মধ্যাকর্ষন শক্তি মানে আকর্ষন এবং বিকর্ষন দুটোই। তাহলে gravitation law এর কি হাল হবে? মাথা খারাপ হয়ে যাবে। When your system is able to derive two opposite theorems this puts into question the entire theory.
==
Frege এর logic এর ও ঐ হাল হয়েছিল। পরবর্তিতে তার concept ত্যাগ করেন। কিন্তু Russell Frege কে অভিনন্দন দিয়ে আবার লেখেন যে,“As I think about acts of integrity and grace I realized that there is nothing in my knowledge to compare with Frege’s dedication to truth his entire life's work was on the verge of completion. Much of his work had been ignored to the benefit of men infinitely less capable. His second volume was about to be published and upon finding that his fundamental assumption was an error. He responded with intellectual pleasure clearly submerging any feelings of personal disappointment. It was almost superhuman and a telling indication of that of which men are capable if their dedication is to creative work and knowledge instead of cruder efforts to dominate and be known”.
==
যাই হোক অনেক পরে Zermelo Fraenkel এই সমস্যা সমাধানে আগিয়ে আসেন এবং “Zermelo Fraenkel set theory” দাঁড় করান যাকে এখনো সংক্ষেপে বলা হয় GF theory। Theory টা আলোচনা করছি না এখানে।
তবে Frege এর concept idea কে তিনি একদম বাদ দেন নাই বা বাদ দিতে পারেন নাই।
==
কিন্তু এখনও বারটান্ড রাসেলের প্যারাডক্স নিয়ে আরও থিউরী আসছে যেমন, Category theory , Homotopy type theory ইত্যাদি।
==
Russell প্যারাডক্সের আরেকটি উদাহরন দেই।
ধরুন আপনাদের বিশ্ববিদ্যালয়ে অনেক ক্লাব আছে। তার মধ্যে একটা ক্লাব আছে যার নাম, “Non-members Club”।
==
এই ক্লাবের আইন হচ্ছে:
(১) কোনও ক্লাবের মেম্বার এই ক্লাবের মেম্বার হতে পারবে না।
এখন প্রশ্ন হলো এই ক্লাবের মেম্বার কি কোনও ক্লাবের মেম্বার?
যদি উত্তর না হয় তাহলে এই ক্লাবের আইনের সাথে তা ঠিক আছে। অর্থাৎ সে কি এই Non-members Club এর মেম্বার হবার যোগ্যতা অর্জন করলো?
উত্তর তো হবে হাঁ করলো। তাই না?
===
কিন্তু সে যখনই এই ক্লাবের মেম্বার হবে তখন কি সে কোন একটি ক্লাব তথা Non-members Club এর মেম্বার হয়ে গেল না?
হা সেটাই তো বোঝায়। কিন্তু এই Non-members Club এর আইনই হচ্ছে সে কোনও ক্লাবের মেম্বার হতে পারবে না। তাই তো?
এবং Non-members Club ও একটি ক্লাব।
তাহলে প্রকৃতপক্ষে হবে কি?
====
এটাই প্যারাডক্স। যেটা Russell তার চিঠিতে বলেছিলেন যে, “Consider the set of all sets that are not members of themselves. Is that set a member of itself?”
===
ধরুন একটি সেট আছে তার নাম ধরি R। তারমানে সেটটির নাম R। এই R সেট যেই সেটের সম্বন্বেয় সৃষ্ট তারা কেউ এই R সেটের সদস্য না।
শর্ত হচ্ছে:
(১) একটি মূল সেট থাকবে।
(২) সেটটির একটি পরিচিত থাকবে।
(৩) মূল সেটি কয়েকটি সেটের সম্বন্বয়ে সৃষ্ট হবে।
(৪) কেউই ঐ সকল সেট সমূহের সদস্য হবেন না।
==
এখন প্রশ্ন, সেট টি কি R এর? যদি উত্তর হয় হাঁ তাহলে এটা ঠিক যে সত্যিই সেটটি তো R এর উপাদান সর্বস্ব দিয়েই গঠিত কারন সেটটির নামই হলো R।
R ই হচ্ছে সেটটির পরিচিতি। এটির ফলে ২ নং শর্ত পূর্ন হলো।
কিন্তু ২ নং শর্ত পূর্ন হবার সাথে সাথে ৪ নং শর্ত লংঘিত হয়। কারন ৪ নং শর্ত অনুযায়ী কেউ কোনও সেটেরই সদস্য বা তার অংশগ্রহন থাকতে পারবে না।
তাই এটার সাথে সাথে বৈপরিত্য চলে আসে যে সেটের কেউই তো R সেটের সদস্য না।
===
আবার যদি বলা হয় যে R সেটটির সদস্য না তাহলে ৪নং শর্তটি পূরন হয়।
শর্তটি হলো কেউই R সেটের সদস্য না।
কিন্তু এই ৪নং শর্ত পূরন হবার সাথে সাথে ২ নং শর্তটি বরখেলাফ হয়। তথা R এর পরিচিতি লোপ পায়।
তাহলে এই অবস্হানের contradiction সৃষ্টি হলো যে R এর নামই তো সেটের নাম।তাহলে R নিজেকে সেটটি থেকে নিজেকে আলাদা রাখে কি করে?
==
এই জটিলতা ভেঙে এখন পর্যন্তও কোনও কার্যকর set theory আসে নাই।
This contradiction shows that there is no consistent way to define the set "R" within standard set theory.
TRUTH UNCOVERED
❝অবিশ্বাস আর ভ্রান্ত মতের আগাছা উপড়ে ফেলেন,তাকে বদলে দেন দ্বীনের স্নিগ্ধ ছোঁয়ায়। আর হতে চান সিরাতুল মুসতাকিমের পথিক...... যে পথ সুন্দর ও সত্য❞
